순서를 바꿔 넣어도 같은 두 함수, 고정점 하나를 공유하는 이유

f(x)=x의 실수 해가 a 하나뿐이라고 해 볼까요? f,g는 실수 전체에서 정의되고 값도 실수예요. 반드시 g(a)=a인지 판단해요.

주어진 합성 관계에 x=a를 넣어요. f(a)=a라는 사실을 오른쪽에 사용하면 다음과 같아요.

따라서 g(a)도 f(x)=x의 실수 해예요. 해가 a 하나뿐이므로 g(a)=a입니다. g의 전체 식이나 다른 입력값은 필요하지 않아요.

하나뿐임 조건을 지우면 이 결론은 보장되지 않아요. f(x)=x, g(x)=x+1은 합성 순서가 같지만 g(a)=a인 실수 a는 없어요. 이 경우 f(x)=x는 모든 실수에서 성립하여 해를 하나로 정할 수 없어요.

예시 풀이에 f(g(a))=g(a)까지만 적혀 있다면 그 다음에 하나뿐임이 실제로 쓰였는지 확인해요. 어떤 값이 해라는 것과 그 값이 이미 정한 a와 같다는 것은 다른 단계예요. 교사가 조건을 줄일 때 합성 관계와 하나뿐임 중 어느 것을 삭제했는지도 함께 확인할 수 있어요.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.