확률 부등식에 분모를 곱하기 전, 양수와 음수를 나누자

−1≤X≤1, −1≤Y≤1인 정사각형에서 넓이에 비례해 점을 고른다. Y≠0일 때 X/Y≥2가 될 확률을 구하라.

Y>0:\ X\ge2Y,\qquad Y<0:\ X\le2Y.

분모의 부호에 따라 부등호 방향이 달라진다. Y>0에서는0<Y≤1/2인 오른쪽 위 삼각형이 가능하다. 밑변1·높이1/2로 넓이1/4다.

Y<0에서는 원점에 대칭인 왼쪽 아래 삼각형이 가능하고 넓이도1/4다. 따라서

P(X/Y\ge2)=\frac{1/4+1/4}{4}=\frac18.

Y=0인 선은 넓이0이지만 나눗셈은 정의되지 않으므로 사건을 적을 때 제외한다. 선의 확률0이 식을 그 점에서 정의해 주는 것은 아니다.

X≥2Y만 남기면 정사각형의 중심을 지나는 직선 한쪽의 넓이2를 세어 확률1/2가 나온다. 이것은 양의 Y에서만 맞던 변형을 음의 Y에도 사용해 다른 사건을 계산한 것이다.

실제 점(0,−1/2)을 확인하면 차이가 보인다. X≥2Y는0≥−1이라 참이지만 X/Y=0은2 이상이 아니다. 사건의 변형이 같은지 한 점으로 확인한 뒤 넓이를 계산한다.

교사는 분모가 변수인 부등식에 부호 조건이 적혀 있는지 먼저 본다. 분모0 제외와 양수·음수 경우 분류는 서로 다른 조건이다. 하나만 써도 풀이가 끝나지 않는다. 이번 확률은 모든 허용 영역을 두 삼각형으로 모았을 때 얻는다.

Y가0이라는 사건의 확률0과 Y가 음수라는 사건의 확률1/2를 혼동하지 않는다. 음수 경우를 버릴 근거는 없으며 그 부분에도 넓이1/4의 허용 영역이 남는다.

두 경우의 교집합은 없으므로 넓이를 그대로 더한다.