곱에 한 항만 남았을 때 두 인수도 한 항이어야 할까

P(x)Q(x)=x^3

P,Q는 실수 계수 다항식이다. 가능한 두 다항식을 모두 찾는다. 여러 항을 가진 두 인수를 곱해서 중간 항이 전부 지워질 수 있다는 주장도 검토한다.

P,Q는 0이 아닌 다항식이다. P의 가장 높은 차수와 가장 낮은 차수의 항을 각각 m,r로, Q에서는 n,s로 적는다. 해당 항의 계수는 0이 아니다.

곱의 가장 높은 차수는 m+n이고 가장 낮은 차수는 r+s다. 이 두 위치의 계수는 해당 두 계수의 곱이어서 다른 항과 합쳐져 사라질 수 없다.

m+n=3=r+s,\qquad m\ge r,\quad n\ge s.

두 차이 (m−r)+(n−s)가 0이므로 각각 0이다. 따라서 P,Q는 각각 한 항으로만 이루어진다.

P(x)=ax^k,\qquad Q(x)=\frac1a x^{3-k},\quad a\ne0,\quad k=0,1,2,3.

중간 항은 없어질 수 있어도 곱의 양 끝 차수에 있는 항까지 함께 지울 수는 없다. 전개표를 모두 채우기 전에 두 끝을 먼저 확인하면 가능한 인수의 형태를 제한할 수 있다. k=0 또는 3인 경우에는 한 인수가 상수인 것도 포함한다.