f는 실수 전체에서 연속이에요. 이 조건이면 반드시 기함수인지 판단해요. 대칭 구간 하나의 적분이0이라는 정보와 비교해요.
x>0에서 양변을 미분하면 f(x)+f(−x)=0입니다. 아래 끝의 변화율이−1이라 빼는 부호와 함께 더하기가 된 거예요. 따라서 양수 x에서 f(−x)=−f(x)입니다.
연속성으로 x가0에 가까워질 때2f(0)=0을 얻어요. 음수 입력의 등식은 대응하는 양수 입력의 등식을 다시 쓰면 돼요. 따라서 f는 실수 전체에서 기함수다. 기함수이면 모든 대칭 구간의 적분이0이라는 반대 방향도 성립해요.
한 구간만 확인하면 결론은 달라요. f(t)=t²−1/3은−1부터1까지의 적분이0이지만 f(0)=−1/3이어서 기함수가 아니에요.
채점에서는 ‘모든 x’의 조건과 연속성을 사용한0의 보완을 남겨요. 아래 끝이−x인 함수의 미분에서 음수 부호를 하나 더 쓰는 이유도 실제 식으로 확인해요.
출처·착안: Lin McMullin, 「Good Question 14」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.