두 번 곱해도 같은 행렬 두 개, 더한 행렬도 그럴까요?

같은 크기의 2×2 행렬 A,B가 위 조건을 만족해요. (A+B)²=A+B가 성립할 필요충분조건을 AB와 BA로 나타내 보세요. AB=BA를 미리 가정하지 않아요.

전개하면 (A+B)²=A+B+AB+BA입니다. 따라서 필요한 조건은 AB+BA=O입니다. 두 항의 합이 0이라는 사실만 보고 각각 0이라고 쓰는 것은 일반적으로 옳지 않아요. 여기서는 처음의 두 제곱 조건을 더 써야 해요.

AB+BA=O의 왼쪽과 오른쪽에 A를 곱하면 2ABA=O, 즉 ABA=O입니다. 다시 왼쪽에만 A를 곱하면 AB+ABA=O이므로 AB=O이고, 원래의 식에서 BA=O도 얻어요.

반대 방향은 두 곱이 0인 것을 전개식에 넣으면 바로 확인돼요. A=B=E는 처음 조건을 모두 만족하지만 (2E)²=4E≠2E라서 합의 성질이 자동으로 유지되지 않아요. 학생이 정답 조건은 맞게 썼어도 “합이 0이니까 둘 다 0”이라는 줄에는 추가 설명이 필요해요. 두 번 곱해도 같다는 조건이 실제로 쓰인 곳을 표시하도록 해요.

출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.