t에 따른 서로 다른 실근의 개수를 구하라. u=|x|로 치환한 이차방정식의 실근 개수를 그대로 답으로 써도 될까?
u≥0이고 (u−1)²=t+1이다. t<−1이면 해가 없고 t=−1이면 u=1 하나에서 x=±1 두 개를 얻는다. −1<t<0에서는 u=1±√(t+1)이 모두 양수여서 각각 x=±u를 만들어 네 개다.
t=0에서는 u=0,2다. u=0은 x=0 하나, u=2는 x=±2 둘이므로 세 개다. t>0에서는 작은 u가 음수여서 버리고 큰 u 하나에서 x 두 개를 얻는다.
위 개수는 순서대로 t<−1, t=−1, −1<t<0, t=0, t>0에 대응한다. 그래프는 |x|=1에서 최솟값 −1을 갖고 좌우 대칭이다.
수업에서는 u의 해마다 원래 x의 개수를 적는 두 줄 표를 쓴다. 중근인 u=1도 원래 변수에서는 두 실근이며, u=0만 부호 두 개가 같은 입력으로 겹친다. 판별식은 치환한 식의 정보이므로 범위와 복원 과정까지 남긴다.
출처·착안: Quadratic Vertex Form Card Sort. 문항과 풀이는 새로 작성했다.