두 조건을 따로 비교하라. A는 f′(0)=2만 안다. B는 [0,1]에서 연속, 내부에서 미분가능하고 모든 내부 입력에서 |f′(x)|≤2를 안다. 각각 f(1)에 어떤 제한을 주는가?
A에서는 f_M(x)=2x+Mx²를 생각하면 f′_M(0)=2지만 f_M(1)=2+M이다. 실수 M을 바꾸어 f(1)을 어떤 실수로도 만들 수 있다.
B에서는 평균값의 정리로 f(1)−f(0)=f′(c)인 0<c<1이 존재한다. 따라서
f=2x와 f=−2x가 양끝 값을 실제로 주므로 B의 제한은 정확하다. 두 조건 A,B는 서로 다른 정보 묶음이며 동시에 요구한 것이 아니다.
운동으로 읽으면 한 순간의 속도는 이후의 위치를 확정하지 않지만 구간 전체의 속도 제한은 이동량을 제한한다. 교사는 점 정보와 구간 정보를 문제의 다른 줄에 적고, 평균값의 정리에 필요한 연속·미분가능 조건도 남긴다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Matching Motion」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.