A,B는 같은 크기의 2×2 행렬이다. 두 조건으로 BA, A², B²를 정하라. AB=O라는 조건만 있을 때와 결론이 어떻게 달라지는지도 설명한다.
B=E−A를 먼저 대입하면 순서를 억지로 바꿀 필요가 없다.
이제 역순도 직접 계산된다. BA=(E−A)A=A−A²=O이다. 또한 B²=(E−A)²=E−2A+A²=E−A=B이다. 따라서 두 행렬은 각각 두 번 곱해도 한 번과 같다.
조건 하나를 지우면 결론이 유지되지 않는다. A=[[1,0],[0,0]], B=[[0,0],[1,0]]이면 AB=O이지만 BA=B≠O이다. 이때 A+B는 단위행렬이 아니다.
반례를 제출한 학생이 첫 문항까지 거짓이라고 하면 반례가 두 조건을 모두 만족하는지 확인하게 한다. 행렬 곱의 순서가 중요하다는 말은 추가 조건의 효과를 무시할 이유가 되지 않는다. 답안의 핵심은 AB를 BA로 바꾼 줄이 아니라, B를 E−A로 바꾸어 두 식을 각각 계산한 줄이다.
출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.