도함수의 주기가 원래 함수의 주기는 아니다

f'(x)=1+\cos(2\pi x)\qquad(x\in\mathbb R).

도함수의 주기는 1이다. 이 조건에서 f의 주기도 1이라고 결론 내릴 수 있을까? 같은 기울기가 반복된다는 정보가 함수값까지 반복시킨다는 추론을 확인한다.

주어진 도함수를 갖는 함수는 다음과 같다.

f(x)=x+\frac{\sin(2\pi x)}{2\pi}+C.

따라서 f(x+1)−f(x)=1이다. 한 주기만큼 이동하면 기울기 모습은 되풀이되지만 함수값은 1만큼 커진다. C를 어느 값으로 골라도 이 차이는 바뀌지 않으므로 f의 주기가 1일 수는 없다.

식을 먼저 구하지 않고도 확인할 수 있다. D(x)=f(x+1)−f(x)라 두면 D′(x)=0이므로 D는 상수다. 그 상수는 0에서 1까지 도함수를 적분한 값, 즉 1이다.

일반적으로 주기 T를 갖는 도함수에서는 f(x+T)−f(x)가 상수가 된다. 이 상수가 0인지가 함수값의 반복을 가른다. 도함수 그래프를 보고 원래 함수의 주기를 주장한 답에는, 한 주기에서의 정적분값을 확인하는 한 줄을 추가하도록 한다.

출처·착안: Reading the Derivative’s Graph. 문항과 풀이는 새로 작성했다.