같은 확률로 일어나는 결과가 정확히 여섯 개다. A,B는 각각 결과 세 개를 포함하는 사건이다. 두 사건이 독립이 되도록 교집합을 정할 수 있는가?
독립이라면 교집합 확률은1/4여야 한다. 하지만 교집합 결과 수k는 정수이고 k/6=1/4에서 k=1.5다. 불가능하다.
절반이라는 값 뒤의 결과 수
교집합의 가능한 크기는0,1,2,3이다. 확률은0,1/6,1/3,1/2중 하나라1/4가 없다. 두 사건의 크기가 같다는 사실만으로 독립을 만들 수 없다.
전체 균등 결과가 네 개이면 가능하다. A={1,2},B={1,3}으로 두면 각1/2,교집합1/4다. 여덟 개에서도 A={1,2,3,4},B={1,2,5,6}이면 같은 관계가 된다.
일반적으로 두 사건을 절반씩 가진다고 할 때 전체 결과 수는 짝수여야 하고, 독립까지 요구하면 교집합 수가 전체의1/4이므로4의 배수여야 한다.4의 배수이면 두 사건의 안팎을 네 같은 크기 부분으로 나누어 실제로 만들 수 있다.
교사는 여섯 개의 균등 결과 위에 ‘독립’이라는 단어를 붙여 출제하기 전에 조건이 양립하는지 확인한다. 학생이 교집합을 구하지 못한 이유가 계산 부족이 아니라 문항 자체의 정수 조건 때문일 수 있다. 반대로 결과들이 균등하다는 조건을 지우면 같은 결과 개수만으로 이 불가능 증명을 적용하지 않는다.
결과 수와 사건의 크기를 표로 먼저 남기면 분수 확률의 양립성도 확인할 수 있다.
출처·착안: Allan Rossman, 「#100: Independence Day (part 3)」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.