소득을 열 배 하는 것과 같은 금액을 더하는 것은 다르다

같은 가중치의두소득x,y가0이상이고합이양수일때G=|x−y|/[2(x+y)]로정의한다. (10,30),(100,300),(30,50)의G를계산하라. 모두에게양수c를곱한경우와양수d를더한경우의일반식을비교하라.

G(x,y)=\frac{|x-y|}{2(x+y)}

금액의단위를바꾸는일과모두에게같은 금액을더하는일은다른연산이다. 상대 격차를보는지표는두변화를같게취급하지않는다.

세쌍의G는각각20/80=1/4, 200/800=1/4, 20/160=1/8이다. c를곱하면분자와분모에c가같이붙어약분되므로G가유지된다.

같은d를더하면차이는|x−y|그대로지만분모가2(x+y+2d)로커져서x≠y일때G는작아진다. 이는누구의실제생활이얼마나개선됐는지판정하는전체기준이아니라,이상대 격차지표가어떤연산을구별하는지보는계산이다.

G(10,30)=G(100,300)=\frac14,\qquad G(30,50)=\frac18

금액 차이도따로적게한다. 배율을열배하면절대차이는커져도상대지표가유지된다는두 결론을함께설명하도록한다.

착안 원문: Income inequality. 상대 소득 격차의 정의를 금액 배율과 같은 금액 추가라는 두 연산으로 검산했다.

x=y일때같은 금액을더해도G가더작아지는가? 엄격한부등식에필요한조건을찾아라.