f는 실수에서 실수로의 함수다. 양수 입력에서 f의 값이 음수이거나0일 수 있는지 판단한다. 연속이나 증가 조건은 주어지지 않았다.
임의의 양수 x는 x=u²인 양수 u로 나타낼 수 있다. 따라서 f(x)=f(u)²여서0 이상이다. 이 단계만으로 양수라고 끝내면0이 아닌 이유가 빠진다.
u와1/u의 곱은1이므로 f(u)f(1/u)=f(1)=1이다. 따라서 f(u)≠0이다. 그 제곱인 f(x)는 엄밀히 양수다.
결론은 f가 음수 입력에서 어떤 부호를 갖는지까지 정하지 않는다. f(x)=x와 f(x)=x²는 모두 주어진 조건을 만족하지만 x=−1의 함수값은−1과1로 다르다.
f(1)=1을 삭제하면 모든 입력에서0인 함수도 곱셈 관계를 만족한다. ‘0 이상’과 ‘양수’라는 답을 나누어 쓰고, 각각 제곱과 역수 입력에 어떤 가정을 사용했는지 표시한다.
출처·착안: banderson02, 「Always, Sometimes, Never Shapes」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.