P=(x²+y²)(a−b)+z(a−b)를 인수분해하라. 학생이 ‘괄호가 길어서 어느 항을 묶어야 할지 모르겠다’고 말한다면 무엇을 먼저 가릴 수 있을까?
U=a−b라고 잠시 놓으면 P=(x²+y²)U+zU다. 두 덩어리가 같은 U를 가지므로 P=(x²+y²+z)U, 즉 (x²+y²+z)(a−b)다. U는 새로운 조건이 아니라 반복되는 식의 임시 이름이다. 마지막에 a−b를 돌려놓아야 원래 문자들로 된 답이 된다.
확인은 역으로 전개하면 된다. (x²+y²+z)(a−b)는 x²(a−b)+y²(a−b)+z(a−b)로 펼쳐지고, 처음 두 항을 묶으면 원래 식이다. a=b일 때 두 식 모두 0이 된다는 검사도 가능하지만, 그 한 경우만으로 두 식이 항상 같다고 증명한 것은 아니다.
교사 질문은 ‘공통식 a−b가 음수여도 묶을 수 있는가’다. 가능하다. 인수분해는 길이가 양수인 직사각형 그림에만 적용되는 규칙이 아니라 모든 실수 문자에 성립하는 분배법칙의 역이다. 도식은 구조를 보여 주고, 항등식의 근거는 전개가 맡는다.
착안한 공개 원문: A History of the Grouping Method. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.