처음 상자에는 빨강과 파랑 구슬이 하나씩 있다. 한 구슬을 같은 확률로 뽑고 되넣은 다음, 같은 색의 새 구슬 하나를 더 넣는다. 다시 각 구슬을 같은 확률로 뽑는다.
구슬을 되넣었으므로 매번 빨강 확률은1/2이고 두 선택은 독립이라는 설명을 고쳐라.
첫 번째가 빨강이면 상자가 빨강2·파랑1로 바뀐다. 두 번째 빨강 확률은2/3이다. 첫 번째가 파랑이면 빨강1·파랑2라 두 번째 빨강 확률은1/3이다.
조건을 붙이지 않은 두 번째 빨강 확률은
첫 번째와 두 번째의 빨강 확률은 모두1/2지만 두 사건은 독립이 아니다. 함께 빨강일 확률은1/3으로1/4와 다르다.
되넣기 뒤에 상자를 바꾸었는가
구슬을 되넣는 동작은 기존 구슬을 없애지 않는다는 뜻이다. 다른 구슬을 추가하지 않는다는 뜻까지 담고 있지 않다. 독립 시행을 적용하려면 다음 선택 확률이 앞 결과에 따라 달라지는지 확인해야 한다.
교사는 ‘두 번째 확률도1/2’라는 계산을 지우지 않는다. 전체 확률로 계산하면 맞는 값이다. 오답의 지점은 그 값이 첫 결과를 알고 난 뒤에도 항상 같다고 바꾸어 읽은 줄이다. 조건부확률2/3과1/3을 함께 적으면 차이가 드러난다.
문항에 같은 색을 추가하는 규칙을 남기면 복원·비복원 두 단어만으로 공식을 정하는 습관을 점검할 수 있다. 상자 그림은 첫 결과마다 따로 그려 다음 선택의 분모3과 분자2또는1을 표시한다.
출처·착안: Paul Rowlandson, 「Thinking About Probability Trees」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.