급수∑a_n과 수열n a_n을 각각 판단한다. 모든 항은0 이상이다. 급수가 수렴하므로 n a_n도0으로 간다는 주장이 맞을까?
2^K번째 부분합은1/2+1/4+…+1/2^K=1−2^(−K)다. 그다음2^(K+1)번째 항을 만나기 전까지 합은 그대로다. 따라서 모든 부분합은1로 수렴한다.
하지만 n=2^k에서는 n a_n=1이다. n=2^k+1에서는 해당 번호가2의 거듭제곱이 아니므로 n a_n=0이다. 두 종류의 입력이 모두 한없이 커지는데 값은1과0으로 남는다.
따라서 n a_n은0으로 가지 않으며 한 값으로 수렴하지도 않는다. 원래 a_n 자체는 큰 번호에서0 또는2^(−k)이므로0으로 간다.
급수 수렴이 주는 일반항0의 필요조건에 n이라는 증가하는 인수를 마음대로 붙일 수 없다. 부분합이 변하는 번호와 n을 곱한 값이 커지는 번호를 같은 표에서 구별한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Geometric Series – Far Out」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.