f=4−(x−2)², g=4−(x−6)²는 Open Middle 원문의 두 해다. 새 문제에서는 정수 좌표(x,y) 중0≤y≤f(x)인 점들의 집합F와0≤y≤g(x)인 집합G를 만든다. F∪G의 점 수를 구하라.
F에서는 x가0,1,2,3,4이고 높이가0,3,4,3,0이다. y=0인 경계도 포함하므로 각 세로줄의 점 수는1,4,5,4,1이다. 합은15다. G는 같은 모양이 오른쪽4만큼 이동되어 역시15개다.
두 집합의 x범위는[0,4]와[4,8]이다. 겹칠 수 있는 정수 x는4뿐이고, 이때 두 높이 모두0이므로 공통점은(4,0) 하나다. 따라서 합집합은15+15−1=29개다.
교사 질문은 ‘곡선 아래의 넓이가 같은 것과 정수점 수가 같은 것은 같은 계산인가’다. 여기서는 경계를 포함한 정수점만 센다. 면적0인 경계점도 점 수에서는 하나다. 두 집합의 점을 한 표에 모을 때 가운데 점을 한 번만 적어 중복을 확인할 수 있다.
착안한 공개 원문: Quadratic In Vertex Form With Given Root And Maximum Value. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.