길이l=d/2인바늘의중심을선간격에걸쳐균등하게놓는다. 바늘과선의각도를θ로고정할때교차 확률은(l/d)|sinθ|라고주어졌다. θ=0,π/2의값을구하고,중심 위치와 독립인 각도까지 [0,π/2]에서 균등한 경우의 1/π와 비교하라. 각 시행의 중심 위치와 각도 선택은 서로 독립이고 같은 분포를 따른다고 하자. 위치만무작위라는조건으로1/π를보장할수있는가?
방향 분포와 기하확률
평행한θ=0에서는확률0,수직인θ=π/2에서는1/2다. 균등 각도모형에서는평균sinθ가(2/π)∫₀^(π/2)sinθ dθ=2/π라 전체 확률은(1/2)×(2/π)=1/π다.
세값은각각다른방향 분포를사용했다. 바늘을항상수직으로놓은자료에π̂=N/C를적용하면교차비율은1/2근처로가서추정값은2근처로간다. 매 시행이 독립이며 중심 위치와 무작위 각도도 독립이라는 조건에서의 장기 비율이다. 시행수 증가는잘못된 방향모형을수정하지않는다.
위치와각도의분포를두줄로명시하게한다. 결과가원주율에가깝지않다고횟수만늘리기전에실험방법의가정을검토한다.
모든 바늘을θ=π/6으로놓으면교차 확률과이짧은추정식의장기값은각각얼마인가?
착안 원문: Buffon’s Needle Problem. 중심 위치뿐 아니라 각도의 분포도 필요하다는 기하확률 조건을 비교했다.