서로 다른6명 중 대표3명을 정하고, 그 대표 중1명을 팀장으로 정한다. “대표를 정하는20가지에 팀장 후보6가지를 곱해120가지”라는 풀이를 검토하라.
대표 세 명이 정해진 뒤 팀장은 그 세 명 중에서 골라야 한다. 두 번째 선택 수는 전체6명이 아니라3명이다. 대표가 아닌 사람이 팀장인 경우는 문제의 조건을 만족하지 않는다.
팀장을 먼저 정하는 순서로도 계산할 수 있다.6명 중 팀장1명을 정한 뒤, 그 사람을 제외한5명 중 일반 대표2명을 고른다.
같은 답이지만 각 단계의 선택 수가 다르다. 팀장을 먼저 고르면 마지막에 팀장 후보를 다시 곱할 필요가 없다. 이미 정한 역할을 두 번 선택하지 않았는지 확인한다.
교사는 오답의 대표 집합 하나를 고정하게 한다. 대표가 A,B,C일 때 팀장은 A,B,C만 가능하다. D를 팀장으로 붙인 조합이 계산에 들어 있는지 살펴보면120에서 조건을 벗어난 경우가 어떻게 생겼는지 드러난다.
후속으로 팀장을 대표 밖에서 정한다고 바꾸면20×3=60이다. 답의 수는 같지만 가능한 결과는 전혀 다르다. 답이 일치했다는 사실만으로 문항 조건을 올바르게 읽었다고 판단하면 안 된다.
새 문항의 정답에는 계산뿐 아니라 팀장과 대표의 관계를 한 문장으로 쓰게 한다. 같은 숫자60이 나오는 두 조건을 비교하면, 경우의 수만 맞추는 채점에서 놓치기 쉬운 조건 해석을 확인할 수 있다.
출처·착안: Peter Mattock, 「Multiplicative counting – the different types」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.