A,B와 다른 점 P에서 ∠APB=90°인 점의 자취를 구하라. 평면 y=0 또는 z=0을 문제에서 정하지 않았다.
두 벡터의 내적 조건을 쓰면
따라서 원점 중심, 반지름2인 구 위의 점들에서 A,B를 제외한 부분이다. P=(0,0,2)뿐 아니라 P=(0,√2,√2)도 조건을 만족하므로 한 평면의 원만 답하면 가능한 점을 빠뜨린다.
A나 B를 구의 방정식에 대입하면 등식은 성립한다. 그러나 P=A일 때 PA는 영벡터라 ∠APB를 정의할 수 없다. 내적0이라는 식과 두 벡터가 이루는 각90°가 같아지려면 두 벡터가 모두 영벡터가 아니어야 한다.
문항에서 “A,B와 다른 점”을 먼저 제시한 이유도 여기에 있다. 정답에는 구의 방정식만 쓰지 말고 제외할 두 점을 함께 적는다. 그림에 지름 AB와 구의 점을 넣어도 끝점 제외 표시가 있어야 조건이 완성된다.
교사는 평면에서 지름에 대한 직각을 익힌 학생에게 그 평면이 고정되었는지 묻는다. z=0을 추가하면 구와 그 평면이 만나는 원에서 두 끝점을 제외한다. 공간 전체일 때의 자취와 조건을 하나 추가한 자취를 같은 답으로 쓰지 않는다.
식은 동일한 거리 관계를 여러 방향으로 나타낸다. 특정 단면에서 그린 원 하나로 공간의 모든 점을 대표할 수는 없다.
구 위 한 점을 고른 뒤 두 벡터를 직접 써도 내적0을 확인할 수 있다. 그림에서 직각처럼 보이는지보다 같은 식을 만족하는지로 답을 비교한다.
출처·착안: MK's papa, 「高校数学をプログラミングで解く（数学C編）「2-5 座標空間における図形」」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.