실수 k에 대해 Pₖ(x)=2x²+(k+2)x+k다. k가 무엇이든 공통으로 가지는 일차인수를 찾고, 두 일차인수가 같은 근을 갖게 되는 k를 구하라.
중간항을 kx+2x로 나누면 Pₖ=2x(x+1)+k(x+1)이다. 따라서 Pₖ=(x+1)(2x+k). k를 몇 값씩 대입해서 찾은 추측이 아니라 모든 실수 k에 성립하는 재배열이다. 실제로 Pₖ(−1)=2−(k+2)+k=0이므로 x+1이 늘 인수라는 사실도 확인된다.
두 근은 −1과 −k/2다. 같은 근이 되려면 −k/2=−1, 즉 k=2다. 이때 P₂=2(x+1)²이다. k=0에서는 x(2x+2)로 상수항이 없어지지만 이차항은 2x² 그대로이므로 차수가 낮아지지는 않는다.
교사 질문은 ‘k=0을 대입하면 왜 일차식으로 바뀌지 않는가’다. 상수항이 0인 것과 최고차항 계수가 0인 것은 다른 조건이다. 매개변수 식을 읽을 때 어느 계수에 매개변수가 붙어 있는지 먼저 확인하면, 인수와 차수의 변화를 혼동하지 않는다.
착안한 공개 원문: A History of the Grouping Method. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.