이 조건이면 f′(0)=0이며 f″(0)=2L이라고 말할 수 있을까? 두 결론을 나누어 확인한다.
미분계수의 정의에 나오는 분수는 h·[f(h)−f(0)]/h²이다. 유한한 L에0으로 가는 h를 곱하므로 극한은0이다. 따라서 f′(0)=0은 맞다.
이계도함수의 결론은 보장되지 않는다. f(0)=0, x≠0에서 f(x)=x²+x³sin(1/x)로 두면 제곱으로 나눈 차는1+xsin(1/x)이어서L=1이다.
그러나 x≠0에서 f′(x)/x=2+3xsin(1/x)−cos(1/x)다. x=1/(2nπ)에서는1로, x=1/((2n+1)π)에서는3으로 가므로 f″(0)은 없다.
함수값의 차를 h²로 나눈 분수와 도함수값의 차를 h로 나눈 분수는 다른 대상이다. 한 극한의 숫자를 두 번째 미분계수로 바로 옮기지 않고, 그 미분계수의 정의를 별도로 확인한다.
출처·착안: すい, 「【中高生向け】結局、微分って」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.