f(x)=x³−x다. 두 식 f″(x)와 (f′(x))²를 구하고 x=−1/2에서 값을 비교하라. 두 번째 미분이라는 말에 제곱을 떠올리면 어떤 그래프가 잘못 만들어질까?
f′(x)=3x²−1이다. 이것을 다시 미분하면 f″(x)=6x다. 반면 도함수 값을 제곱한 식은 (3x²−1)²이다. x=−1/2에서 f′=−1/4, f″=−3, (f′)²=1/16이다. 세 값은 각각 기울기, 기울기의 변화율, 기울기 값의 제곱이다.
이계도함수 그래프는 원점을 지나는 직선이고 x<0에서 음수다. 도함수의 제곱 그래프는 모든 실수에서 0 이상이다. 따라서 ‘두 번째니까 제곱해서 항상 양수’라는 답은 기울기가 줄어드는 부분을 잃는다.
교사 질문은 ‘f″의 두 작은 표시가 어떤 연산의 반복인가’다. 같은 함수에 제곱을 두 번 하는 것이 아니라 입력에 대한 미분을 두 번 하는 표기다. 표기만 지적하는 대신 음수가 나오는 한 점을 직접 계산하면 혼동이 드러난다.
착안한 공개 원문: Functions and Rates of Change. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.