모든 자연수에서 맞는 식은 다항식 조건이 있을 때 확정된다

P(n)=n^2\qquad(\text{모든 자연수 }n).

P는 실수 계수 다항식이다. 차수는 주어지지 않았다. 이 정보만으로 모든 실수 x에서 P(x)=x²라고 결론 낼 수 있을까?

Q(x)=P(x)−x²로 놓는다. 항상0인 다항식이 아니라면 어떤 유한한 차수d를 갖는다. 서로 다른 해가 d+1개 있으면 인수정리를 반복하여 서로 다른 d+1개의 일차식인 인수가 곱으로 들어가므로 차수가 적어도 d+1이어야 한다.

그러나 Q는 모든 자연수에서0이어서1,2,…,d+1을 서로 다른 해로 갖는다. 모순이므로 Q는 모든 실수에서0이고 P(x)=x²다. 차수를 몰라도 다항식은 유한한 차수를 가진다는 조건을 썼다.

다항식 조건을 빼면 f(x)=x²+sin(πx)가 반례다. 모든 자연수에서는 같은 값이지만 x=1/2에서는1/4가 아니라5/4다.

많은 대입 결과를 실제로 계산한 것과 가능한 함수의 종류를 확정한 것은 다른 정보다. ‘자연수에서 같다’는 단서를 사용할 때 다항식 조건이 어느 줄에 쓰였는지 표시한다.