다음 다항식은 어느 n에서도 실수 영점을 갖는다. 그렇다면 마지막에 가까워지는 함수도 영점을 갖는다고 말할 수 있을까? n은 양의 정수이며 x는 실수다.
각 다항식의 영점은 −n 하나다. 하지만 함수값의 극한을 구할 때는 x를 먼저 하나의 실수로 고정한다. 그러면 충분히 큰 n에서 1+x/n>0이 되어 로그를 취할 수 있다. x≠0일 때 ln p_n=x·{ln(1+x/n)/(x/n)}이며, 중괄호 안의 비는 1로 간다. 따라서 ln p_n은 x로, p_n은 e^x로 간다. x=0에서도 모든 값이 1이라 같은 결론이다.
영점의 입력 −n은 n이 커질수록 왼쪽으로 멀어진다. 어떤 고정된 실수에서도 계속 0을 주는 것이 아니다. ‘각 n마다 0인 입력이 있다’에서 ‘한 입력에서 극한값이 0이다’로 조건을 바꾸었기 때문에 잘못된 결론이 생긴다.
교사는 영점 열 −1,−2,−3과 고정 입력 x=−1의 값 열을 나란히 적게 한다. 둘은 첫 항에서만 같은 자리를 보고 이후에는 다른 위치를 본다. 원문의 그래프 관찰을 고정 입력과 움직이는 입력의 구별로 확장한 자체 문항이며, 단순히 그림의 영점 표시가 희미해졌다는 설명으로 끝내지 않는다.
출처·착안: Tiny Game Re: Euler’s Number. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.