같은 시작과 끝이라도, 중간 시점을 넣으면 지수가 달라진다

다음은 실제 통계가 아닌 세 시점의 가격·수량표다. i→j의 수량비를 Qij로 정의한다. 중간 시점 1을 거친 Q01Q12와 양 끝만 사용한 Q02를 비교하라.

시점	pA	pB	qA	qB
0	1	3	4	2
1	2	2	2	5
2	3	1	3	3

Q_{ij}=\sqrt{\frac{p_i\cdot q_j}{p_i\cdot q_i} \frac{p_j\cdot q_j}{p_j\cdot q_i}}.

여기서 p_i·q_j는 두 품목 각각의 가격×수량을 더한 금액이다.

교차 금액을 각각 계산하면 Q01²=119/60, Q12²=72/77, Q02²=36/35이다. 따라서

Q_{01}Q_{12}=\sqrt{\frac{102}{55}}\ne\sqrt{\frac{36}{35}}=Q_{02}.

연결된 지수는 중간 시점의 가격·수량 정보도 사용한다.

주어진 성장률을 곱할 때의 약분과 달리, 여기의 각 Q는 다른 가격 가중치를 이용해 새로 계산된다. Q01을 어떤 단일 금액 a1/a0로, Q12를 같은 금액 a2/a1로 놓을 수 있다고 먼저 가정하면 문제에서 확인할 성질을 이미 전제로 넣는다.

BEA는 인접 기간 Fisher 변화를 연결해 시계열을 만든다. 이 자체 표는 연결 규칙을 쓴다는 말에 중간 시점 정보가 포함됨을 보여 준다. 어느 지수가 실제 경제를 더 잘 설명하는지는 이 계산만으로 결론 내리지 않는다. 여기의 차이는 반올림 오차가 아니라 정확한 제곱 비부터 생긴다.

수업에서는 두 계산에 실제로 들어간 표의 칸을 표시하게 한다. 양 끝의 가격·수량이 같다는 이유만으로 서로 다른 연결 절차의 답도 같다고 쓰기 전에, 중간 정보가 어디에 남는지 검토한다.

착안: NIPA Handbook, Chapter 4: Estimating Methods (December 2023). 수치·문항·해설은 자체 교육용으로 작성했다.