항등함수가 아닌 두 ax+b꼴 함수를 합성했는데 순서를 바꿔도 같다. 둘은 같은 입력을 고정할까? 아니면 둘 다 고정 입력이 없을까? 여기서 기울기는 0이 아니며 고정 입력 p란 한 번 적용해도 p인 입력이다.
먼저 a≠1이면 f의 고정 입력은 p=b/(1−a) 하나다. 가환 조건을 p에 적용하면 f(g(p))=g(f(p))=g(p)다. 즉 g(p)도 f의 고정 입력이다. 유일성을 쓰면 g(p)=p이고, 두 함수가 같은 p를 고정함을 계수 전개 없이 알 수 있다.
이 경우 f(x)=a(x−p)+p, g(x)=c(x−p)+p로 적는다. g도 항등함수가 아니므로 c≠1이다. 반대로 두 함수가 이 꼴이면 어느 순서든 ac(x−p)+p가 되어 가환한다. ‘같은 중심에서 배율만 달라진다’는 표현이 성립하는 경우다.
a=1이면 f는 b≠0만큼의 평행이동이어서 고정 입력이 없다. 두 합성을 비교하면 b=cb가 필요하고 b≠0이므로 c=1이다. g도 d≠0의 평행이동이어야 한다. 두 이동은 순서를 바꿔도 b+d만큼 이동하므로 항상 가환한다.
교사는 ‘가환하니 반드시 고정 입력이 있다’는 답에 평행이동 둘을 보게 한다. 이 분류에서 항등함수를 제외한 이유도 묻자. 항등함수는 모든 입력을 고정하고 어느 함수와도 가환하므로 두 경우의 유일성 설명을 그대로 적용할 수 없다.
출처·착안: New GCSE: Functions. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.