반지름R>0인 구형 용기에 물이 아래부터 찬다고 이상화해요. 바닥 기준 높이h에서 단면적 A(h)=π(2Rh−h²),0<h<2R입니다. 단위시간 유입량은Q>0으로 일정하고 누수는 없어요. 물높이는 계속 증가하므로 높이 그래프의 기울기도 계속 커질까요?
계속 높아진다는 사실은 h′의 부호를 알려 주지만, 기울기 자체의 증가는 h″의 부호를 물어요. 이 두 질문을 먼저 분리해요.
아래쪽에서는 위로 갈수록 물이 퍼질 단면이 넓어져 같은 추가 부피가 작은 높이 변화를 만들어요. 가운데를 지나면 단면이 좁아져 높이 변화가 다시 커져요. h=R에서 h′는0이 아니며Q/(πR²)입니다. 변곡점이라는 말은 이곳에서 물이 멈춘다는 뜻이 아니에요.
Dan Meyer는 물이 그릇에 차는 영상을 그래프로 옮기며 점과 기울기의 뜻을 논의해요. 원문 그릇이 정확한 구형이라고 관찰한 것은 아니에요. 이 글은 구형·일정 유입·단면적 식을 별도 가정한 자체 모형이에요. 끝 높이0,2R는 단면적0으로 이 식이 특이해져 미분 논의 범위에서 제외했어요.
교사는 원뿔처럼 단면이 계속 넓어지는 용기와 달리 구형 용기에는 증가·감소 두 구간이 있다는 점을 비교하게 해요. 상승 여부와 상승 속도의 증감, 그 변화가 일어나는 높이를 각각 적으면 같은 “커진다” 문장의 뜻이 선명해져요.
출처·착안: My Screen-Free Summer School Class. 위 조건·문항·해설은 새로 작성했다.