표면 z=xy에서 원점을 지나는 x축과 y축 방향을 따라가면 높이가 항상0입니다. 그러므로 원점은 주변의 모든 점보다 낮거나 같은 점이라는 주장에 반례를 들어라. 주변은 원점에서 수평거리 ε보다 작은 점들로 정해요.
좌표축 위의 검사는 맞아요. 그러나 두 직선은 원점 주변의 모든 방향을 채우지 않아요. 두 방향의 기록이 같다는 사실을 다른 방향의 부등식으로 확대할 근거가 없어요.
ε가 아무리 작아도 그 안에 들어갈 t를 고를 수 있어요. 두 대각 방향에서 부호가 반대인 높이를 얻어요.
멀리 있는 반례 두 점만 찍으면 “더 작은 주변에서는 최소일 수 있다”는 답이 남아요. ε를 임의로 놓고 그보다 가까운 점을 만드는 이유가 여기에 있어요. 좌표축 검사 실패를 국소적 극값의 정의까지 연결해요.
교사는 단면 그림을 더 많이 그리라는 말에서 끝내지 않고 어떤 범위의 점 전체를 비교해야 하는지 물어요. 이 글은 부분미분의 일반 판정법을 가르치는 글이 아니에요. 두 방향의 평탄함과 모든 방향의 최소 조건이 다른 명제임을 고등학교 수준의 곱과 부등식으로 확인해요.
착안 원문: Hyperbolic Paraboloid Model. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했어요. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니에요.