한 번 성공했다면, 미지의 성공확률을 어떻게 추정할까?

미지의 성공확률 p를 [0,1]에서 균등하게 정한 뒤, 정해진 p에서 성공할 확률이 p인 시행을 한 번 한다. 성공을 관측했다. 관측 후 p의 밀도를 구하고 p>1/2일 확률을 계산하라. 밀도 높이가2이면 확률도2일까?

P(S\mid p)=p,\qquad 0\le p\le1.

성공 전체 확률은 ∫₀¹p dp=1/2다. 관측 후에는 p에 비례하던 높이를 이 값으로 나누어 밀도2p로 만든다.

f(p\mid S)=2p,\quad P(p>1/2\mid S)=\int_{1/2}^1 2p\,dp=\frac34.

밀도는 높이고 확률은 구간 아래 넓이다. p=1이라는 한 점의 확률은 여전히0이다.

Bayes의 1763년 글은 미지의 성공확률이 어느 구간에 있을지를 관측 결과로 추론하는 문제를 다룬다. 원문의 정사각형 균등 위치 관점을 한 번의 성공과 간단한 삼각형 넓이로 축소했다. 현대 표기2p와 이 작은 수치는 자체 설명이다.

자료 한 번이 p를1로 확정하지는 않는다. 처음에 p의 같은 길이 구간들을 같은 가능성으로 둔 조건과, 성공이 p가 큰 구간을 상대적으로 더 자주 선택하게 한다는 조건이 함께 쓰였다. 다른 사전 모형을 쓰면 관측 뒤의 결과도 달라질 수 있다.

교사는 “가장 높다”와 “그 점의 확률이 가장 크다”를 구별하게 한다. 교재의 확률밀도 정의를 붙여 높이가1을 넘어도 전체 넓이는1이라는 사실을 확인하고, 연속 구간을 하나의 가설처럼 읽을 때 범위를 명시한다.