무작위로 고른 수의 첫 숫자, 1이 더 자주 나올까?

U를 [0,1)에서 길이에 대해 균등하게 고르고 X=10ᵁ로 정한다. X는1부터10미만의 실수다. 첫 유효숫자가 d인 확률을 구하라. 같은 범위의 X를 직접 균등하게 고를 때와 비교한다.

X=10^U,\quad d\in\{1,\ldots,9\},\quad \text{첫 숫자 }d\iff d\le X<d+1.

로그를 취하면 log₁₀d≤U<log₁₀(d+1)이다. 따라서

P(D=d)=\log_{10}\frac{d+1}{d},\qquad P(D=1)=\log_{10}2.

확률의 합은 log₁₀10−log₁₀1=1이다. X 자체를[1,10)에서 균등 선택하면 각 숫자는1/9다.

Newcomb은 1881년 로그표의 앞쪽이 더 닳는다는 관찰을 첫 유효숫자의 불균등한 빈도와 연결했다. 여기서는 그의 원문에 나온 로그 소수부분 관점을 명시적 U 모형으로 제한한다. 실제 자연 자료가 모두 이 가정을 만족한다는 주장은 하지 않는다.

숫자1이 많이 나오려면 어떤 선택이 균등한지가 먼저 정해져야 한다. [1,2)와[9,10)은 원래 길이는 같지만 로그 길이는 다르다. 계산 결과가 특이하다는 이유만으로 분포를 법칙처럼 모든 표에 덧씌우거나 자료 진위를 판정할 수 없다.

교사는 도입의 역사 관찰과 계산의 가정을 다른 줄에 적게 한다. 원문에 관찰이 등장한다는 사실은 그 관찰의 수렴 증명까지 제공하는 것이 아니다. 학생에게는 확률합의 망원경 합 검산을 함께 요구한다.