U는[0,1) 균등, X=10ᵁ다. 모든 값을 두 배 한 Y=2X의 첫 숫자1 확률을 구하라. X를[1,10)에서 직접 균등 선택하는 다른 모형에서도 두 배 전후의 첫 숫자1 확률이 유지되는가?
로그 균등 모형에서는 P(5≤X<10)=1−log₁₀5=log₁₀2다. 처음의 P(1≤X<2)와 같다. 선형 균등 모형은
단위 변환에 따른 첫자리 보존은 모형의 성질이다.
로그로 보면 두 배는 U에 log₁₀2를 더하는 이동이다. 첫 숫자에는 로그의 정수부분이 아니라 소수부분만 쓰므로1을 넘으면 다시0쪽으로 이어진다. 균등한 원주 좌표를 같은 양만큼 이동해도 구간의 길이와 확률이 유지된다. 이 이유로 같은 모형에서는 양의 공통 배율에도 첫자리 분포가 유지된다.
Newcomb의 원문은 로그 소수부분을 원 둘레에 배치하는 관점을 쓴다. 여기서는 그 기하 관점의 단위 변환 성질만 자체 예로 증명한다. 임의의 실제 자료에 단위 불변성이 보장된다거나, 첫 숫자가 바뀐 개별 값이 없다는 뜻은 아니다. 분포와 개별 숫자를 구별한다.
교사는 두 모형 모두 값의 범위가[1,10)였음을 확인한 뒤 같은 범위가 같은 선택규칙을 뜻하지 않는다고 정리하게 한다. 배율을 곱하는 한 조작도 어느 확률 모형을 썼는지에 따라 다른 결론을 낸다.
착안: Simon Newcomb, Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers, American Journal of Mathematics 4(1), 39–40 (1881). 수치·문항·해설은 자체 교육용으로 작성했다.