λ는 실수예요. 다음 연립식을 만족하는 실수 순서쌍(x,y)이 언제 존재하는지와 그 개수를 구해 볼까요? 전개한 두 식을 개별 이차방정식처럼 따로 풀기 전에 반복되는 부분을 보라.
u=x²−x,v=y²로 치환하면 u+v=0,u+λv=1입니다. 두 식을 빼면(λ−1)v=1이어서 λ=1은 모순, 나머지는 v=1/(λ−1),u=−1/(λ−1)입니다. v≥0에는 λ>1이 필요하고 u≥−1/4까지 적용하면 λ≥5를 얻어요. 선형 연립식으로 바꾸면 λ≠1에서(u,v) 하나를 빠르게 얻어요. 그러나 유일한 u,v가 실제 x,y로 만들어진다는 보장은 없어요. λ=2는(u,v)=(−1,1)로 대수적으로 맞지만 x²−x의 최솟값−1/4보다 작아 원래 문제에는 해가 없어요.
λ=5에서는 x의 두 부호 가지가 x=1/2로 합쳐지지만 y는±1/2로 서로 달라요. λ>5에서는 x 두 값과 y 두 값을 서로 독립적으로 조합한 네 순서쌍을 모두 원래 식에 넣을 수 있어요. 여기의 “독립적으로 조합”은 경우의 수 표현이며 확률 독립을 가정했다는 뜻이 아니에요.
Dylan Kane은 긴 역연산 전에 식의 구조를 보고 어떤 값이 참을 만드는지 물어요. 새 글은 원문의 간단한 연립식을 복사하지 않고, 선형인 반복 블록과 비선형 원변수를 분리한 자체 조건 분류를 만들었어요.
교사는 치환식의 해 옆에 u의 허용 범위와 v의 허용 범위를 각각 쓰게 해요. 선형 계산이 끝난 뒤에는 존재 검산, 존재한 뒤에는 복원 개수 검산이 남아요. 치환을 선택한 전략과 그 전략이 숨긴 조건을 한 풀이 안에서 함께 확인해요.
출처·착안: Solution By Inspection. 위 조건·문항·해설은 새로 작성했다.