어떤 연립식은 한 식씩 풀 때보다 식들이 공유하는 값을 먼저 볼 때 빠르게 판정된다. 아래 a,b,c는 모두0이 아닌 실수라고 명시해요.
각 방정식은 따로 보면 실수해가 많아요. 예를 들어 xy=2, yz=3, zx=−6 각각에는 간단한 해가 있어요. 그러나 같은 x,y,z로 세 줄을 동시에 만족시켜야 해요. 세 식을 곱하면 왼쪽은(xyz)²이고 오른쪽은−36이라 그런 세 수는 존재할 수 없어요.
일반적으로도 abc>0은 필요해요. 여기서0이 아닌 조건 때문에 제곱값이0일 가능성은 없어요. 이 부호 검사는 불가능한 경우를 빨리 제거하지만, 가능하다고 말하려면 역으로 세 수를 만들어야 해요.
ac/b=abc/b²>0이므로 x의 두 실수 값이 존재해요. 이때 xy=a,zx=c는 정의에서 맞고 yz=ac/x²=b도 맞아요. 따라서 abc>0은 충분조건이기도 해요. 모든 해에서 x²=ac/b가 강제되므로 두 해 외에는 없다는 것까지 증명돼요.
(a,b,c)=(2,3,6)이면(2,1,3)과(−2,−1,−3)을 얻어요. 세 변수의 부호를 모두 바꾸면 각 쌍의 곱은 유지되므로 양의 해 하나만 제출하면 다른 해를 놓쳐요. a,b,c 중0을 허용할 때에는 나눗셈과 해 개수 논증을 그대로 확장하지 않아요.
Michael Pershan은 풀이를 정보 제시, 이유 확인, 적용으로 나누는 설명 설계를 제안해요. 여기서는 전체 곱으로 필요조건 확인, 해 구성으로 충분조건 확인, 다른 해 배제로 완결하는 자체 예에 그 구조를 적용했어요. 원문의 이미지 속 예제나 학습 효과를 복제·검증했다는 주장은 하지 않아요.
출처·착안: Textbooks Don't Have to Be This Bad. 위 문항·풀이와 수업 질문은 새로 작성했다.