삼차식의 세 실근이 같은 간격이면 가운데 실근에서 접선도 수평일까요? 서로 다른 세 실근이라는 조건을 먼저 고정한 자체 문항이에요.
세 근의 합을 s라고 쓰면 x²의 계수는 −as입니다. 두 번 미분하면 f″(x)=2a(3x−s)이므로, 가운데 실근에서 이계도함수가 0이라는 조건은 다음과 같아요.
이계도함수는 기울기가 6a인 일차식이에요. a≠0이어서 이 입력 앞뒤의 부호가 바뀌므로 (r₂,0)은 변곡점이에요. 세 실근의 간격을 확인하는 조건과 곡선의 볼록한 방향을 확인하는 조건이 여기서 연결돼요.
그러나 한 번만 미분한 식에 r₂를 넣으면, 0인 인수를 포함하는 항들은 사라지고 아래 곱이 남아요.
두 간격이 h>0이면 기울기는 −ah²입니다. 따라서 등간격이어도 가운데 접선은 수평이 아니에요. “가운데이므로 극값”이라는 답은 근의 위치와 도함수의 근을 혼동한 거예요.
Lin McMullin은 도함수 그래프에서 원래 함수의 성질을 읽되 이유를 쓰게 해요. 그 관점을 실근의 간격과 이계도함수의 위치를 연결하는 새 증명으로 확장했어요. 원문의 그림이나 문항을 전재하지 않았어요.
교사는 세 실근 표시와 f′=0 표시를 서로 다른 줄에 받아요. 가운데 실근의 등간격을 판정한 뒤, 같은 입력에서 f′와 f″가 각각 무엇을 말하는지 설명하게 하면 두 종류의 0을 구별할 수 있어요.
출처·착안: Graph Analysis (Type 3). 문항·수치·증명과 교사 질문은 자체 교육용으로 새로 작성했다.