q(x)=x² 위의 서로 다른 두 점을 잇는 선분과, 그 두 점에서 그은 접선을 비교해요. u<v이며 넓이는 u≤x≤v에서만 세어요. 현과 곡선 사이를 S, 곡선과 두 접선 중 더 높은 쪽 사이를 T라 해 볼까요?
현은 곡선 위에 있고 ℓ−q=(x−u)(v−x)입니다. 구간 길이를 d=v−u라 놓고 x−u를 새 변수로 쓰면 S=∫₀ᵈz(d−z)dz=d³/6입니다.
접선 두 개는 m=(u+v)/2에서 만나요. 왼쪽 반구간에서는 tᵤ, 오른쪽에서는 tᵥ가 더 높아요. 한 접선만 구간 전체의 아래 경계로 쓰면 원하지 않은 넓이를 포함해요.
이는 접선과 곡선의 높이 차가 정확히 제곱이라는 사실에서 나와요. 접선 교점과 두 접점을 이은 삼각형 전체 넓이를 T라고 바꾸어 부르면 답이 달라지므로, 처음에 어떤 영역을 세는지 문장과 경계식으로 정해야 해요.
도함수 그림에서 접선과 면적을 읽는 Lin McMullin의 질문을, 하나의 정확한 이차식과 두 영역의 비를 증명하는 자체 문항으로 재구성했어요. 원문 그림의 픽셀을 읽어 얻은 수치가 아니에요.
교사는 적분을 시작하기 전에 두 접선 중 위에 있는 경계가 바뀌는 입력을 먼저 받아요. u와 v를 옮겨도 비는 같지만, 폭 d를 두 배로 하면 두 넓이는 여덟 배가 돼요. 위치와 구간 길이가 맡는 역할도 함께 확인할 수 있어요.
출처·착안: Graph Analysis (Type 3). 문항·수치·증명과 교사 질문은 자체 교육용으로 새로 작성했다.