한 변2인 정삼각형의 꼭짓점 A,B,C를 평면의 한 점 P와 세 직선 선분으로 연결해요. 길이 L(P)=PA+PB+PC의 최솟값과 달성점을 구해 볼까요? 연결 방식은 한 접합점과 세 직선 선분으로 제한해요.
한 꼭짓점에 연결점을 두면 다른 두 변의 길이를 더해4를 얻어요. 그러나 삼각형 안쪽에 놓을 수 있는 P를 처음부터 제외할 조건은 없어요. 중심G에서는 세 길이가 각각2/√3이어서 합2√3입니다.
이 값이 가장 작은지는 별도 증명이 필요해요. G를 원점에 놓고 세 꼭짓점 방향의 단위벡터를e_A,e_B,e_C라 하면 합은0입니다. 모든 벡터v에서 |v|≥e·v이고 각 꼭짓점은R e_i입니다.
세 부등식을 더하면 P가 어디에 있든 같은 하한이 남아요.
G가 실제로 하한을 얻으므로 최소예요. 등호가 되려면 각 꼭짓점에서P까지의 벡터가 그 중심 방향과 나란해야 해요. 세 다른 방사직선의 공통점은G뿐이라 달성점도 유일해요. 비누막의 최소면적 관점에서 착안했지만 이 증명은 제한한 세 선분 모델의 최소 길이만 다뤄요. 임의의 네트워크나 실제 막의 최소성을 증명한 것으로 쓰지 않아요.
착안 원문: Soap Bubbles. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했어요. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니에요.