같은 원을 그렸는데, 펜이 지나간 길이도 같을까요?

0≤t≤2π에서 두 펜의 좌표는 P(t)=(cos t,sin t),Q(t)=(cos2t,sin2t)입니다. 각도는 라디안,좌표는 같은 길이 단위예요. 그려진 점들의 집합이 같은지와 펜이 실제 지난 총길이가 같은지 따로 판단해 볼까요?

두 좌표쌍에서 x²+y²=1입니다. P가 t=0부터2π까지 한 바퀴 돌아 단위원의 모든 점을 얻고, Q의 각2t는0부터4π까지라 같은 모든 점을 두 번 지나요. 어느 경우든 종이에 남는 점집합은 동일해요.

운동을 미분하면 두 속력은1과2입니다. 지나간 길이는 방문을 중복해서 세어요.

원의 둘레를 두 번 큰 값으로 바꾼 것은 아니에요. 같은 원을 한 번 지나느냐 두 번 지나느냐가 다른 거예요. 출발점과 도착점만 비교하면 둘 모두 원래 점으로 돌아오므로 이 정보도 총길이를 결정하지 않아요.

하모노그래프처럼 운동이 흔적을 남기는 장치에서, 완성된 그림만으로 이동 과정을 되찾을 수 있는지 질문해요. 각도의 단위 변환 때문에 같은 운동을 다르게 쓴 기존 글과 달리 여기서는 실제 다른 운동을 같은 시간 구간에서 비교해요. 식의 매개변수 범위를 지우지 않게 해요.

착안 원문: Mathematik exhibition. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했어요. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니에요.