원 둘레의 N개 점을0부터N−1까지 붙여요. 각 k에서2k를N으로 나눈 나머지 번호로 실을 이어요. N≥3일 때 모든 끝점에 정확히 한 번씩 도착하나요? 도착하지 않는 점과 겹치는 출발점도 분류해 보세요.
N이 홀수이면 2·(N+1)/2=N+1입니다. 따라서 원하는 끝 번호 j에 대해 k가 j(N+1)/2와 같은 나머지를 갖게 고르면2k의 나머지는 j입니다. 모든 j에 출발점이 있고, 같은 방식으로 유일함도 확인돼요.
N=2m이면 두 출발점 k와k+m은 끝점이 같아요. 서로 다른 이 두 점을 같은 점으로 세지 않아요.
짝수 번호2j에는 k=j와j+m 두 출발점이 도착해요. 가능한 나머지를 모두 조사하면 다른 출발점은 없어요. 홀수 번호에는 아무 실도 끝나지 않아요. 다만 그 점에서 출발하는 실은 있으므로 그림에 점이 보인다는 것과 끝점으로 사용됐다는 것은 달라요.
교사는 출발점 수 N과 서로 다른 끝점 수를 나누어 적게 해요. 원문은 특정 점수의 곡선 모형 활동이며, 여기서는 점수의 홀짝을 바꿀 때 사상 자체가 일대일인지 판단해요. 연결선을 모두 그렸다는 사실만으로 모든 끝점이 사용됐다고 결론 내리지 않아요.
착안 원문: String Art: The Cardioid. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했어요. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니에요.