60회 기록을 비교하려고 만든 가상 횟수표다. 실제 수업의 관측 결과가 아니다. O는 기록 횟수, E는 비교 모형이 주는 양수 횟수이며 아래 D를 정의한다.
합치기 전 D는 5다. 이제 눈1과2를 같은 범주로 묶으면 기록은15+5=20, 모형도10+10=20이다. 나머지 네 눈까지 모두 차가0이 되어 새 D는0이다. 첫 두 눈의 과다·부족은 합친 표에서 서로 없어졌다.
이 현상은 숫자 우연이 아니다. 실제 횟수가 a,b, 모형 횟수가 e,f인 두 범주에서 x=a−e,y=b−f라 놓는다. e,f>0일 때 합병 전후의 차는
합병하면 D가 커지지 않는다. 두 범주의 상대편차 x/e와 y/f가 같을 때만 차가0이다. 범주를 합쳐서 얻은 작은 D가 원래 여섯 눈의 일치까지 보장하는 것은 아니다.
Bob Lochel의 점토 주사위 글은 비교 횟수 대비 제곱편차를 계산하고, 댓글에서는 분모를 바로잡는다. 원문의 실험표나 판정 임계값을 재사용하지 않고 이 자체 표의 범주 합병을 대수식으로 검토했다. D가0이라는 결과만으로 실제 주사위가 공정하다고 판정하지 않는다.
교사는 범주를 줄인 표를 받으면 O만 더했는지 E도 함께 더했는지 먼저 확인한다. 다음에는 줄이기 전 두 차의 부호를 표시하게 한다. 더 간단한 표가 어떤 불일치 정보를 지웠는지까지 설명하는 것이 이 문항의 목적이다.
출처·착안: Statistics Arts and Crafts. 문항·수치·증명과 교사 질문은 자체 교육용으로 새로 작성했다.