r>0이고 구르는 원의 원주점 모형은 C(t)=(r(t−sin t),r(1−cos t))다. t=0에서 두 좌표의 도함수는 모두0이다. 그러므로 접선 방향이 없다는 주장을 검토하라. 원점과 가까운 곡선점을 잇는 직선의 방향을 이용한다.
원점 근처에서 y는 양수다. 세로축에 대한 기울어짐을 확인하려면 y/x 대신 x/y를 보면 된다. 0<t<π에서는1−cos u가 증가하므로 적분을 끝값으로 위에서 누를 수 있다.
r은 비율에서 지워진다. 음수 t에서도 x가 홀함수, y가 짝함수라는 성질을 사용하면 같은 절댓값 상한을 얻는다.
원점과 가까운 곡선점을 이은 할선의 방향은 수직선 x=0으로 간다. 양쪽 곡선점은 모두 위쪽에 있지만 가로 좌표의 부호가 반대라 뾰족한 끝을 만든다. 접선 방향이 있다는 사실과 그 점에서 매개속도가0이 아니라는 사실은 다르다.
교사는 dy/dx를0/0이라고 쓴 줄에서 계산을 멈춘 학생에게 어떤 비율이 수직 방향을 검사하는지 묻는다. 이 증명은 좌표 모형의 끝점 방향만 검토한다. 원문이 소개하는 최단시간 물리 성질까지 이 계산으로 증명했다고 주장하지 않는다.
착안 원문: La cicloide. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했다. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니다.