비음이 아닌 정수(a,b)에서 a≥2면(a−2,b+1), b≥2면(a+1,b−2)로 움직여요. 둘 다 가능하면 어느 칸을 먼저 골라도 돼요. a+b>0인 모든 초기 상태의 종료 여부와 최종 상태를 a−b의 나머지로 분류해 보세요.
합은 매 단계 정확히1 줄어들어요. 음수 모래는 생기지 않으므로 무한히 움직일 수 없어요. 멈춘 두 칸은 각각0 또는1입니다. 마지막 움직임은 다른 칸에1개를 보내므로 비영 상태가(0,0)으로 끝날 수는 없어요.
차 a−b는 A를 움직이면3 줄고 B를 움직이면3 늘어나요. 따라서3으로 나눈 나머지는 유지돼요. 남는 세 안정 상태의 나머지는 서로 달라요.
경로를 모두 나열하지 않고 마지막 상태를 하나로 정해요.
(3,3)은 어느 칸을 먼저 골라도 나머지0을 유지해(1,1)에 이른다. 합의 감소는 종료를, 차의 나머지는 마지막 상태를 정해요. 교사는 두 근거를 서로 대신 쓴 답을 구분해요. 이 증명은 두 칸 규칙만의 결과이며 임의 격자 전체의 순서 독립 정리는 아니에요.
착안 원문: Un zéro pas complètement nul !. 조건·문항·증명은 새로 작성했어요. 원문 그림이나 활동 지시의 번역이 아니에요.