길이2인 구간을 옮겨도 함수값의 평균이 늘 같다면, 원래 함수도 상수일까요? f는 실수 전체에서 연속이며 다음 자체 평균함수를 정의해요.
양끝이 함께 움직여요. F(x)=∫₀ˣf(t)dt로 쓰면 M=[F(x+1)−F(x−1)]/2이므로
M이 상수이면 두 끝값이 모든 x에서 같아요. t=x−1로 이름을 바꾸면 f(t+2)=f(t)입니다. 역으로 이 조건이면 M′=0이어서 실수 전체에서 M이 상수예요. 평균이 일정한 조건은 순간값이 일정한 조건보다 넓어요.
f(t)=0과 f(t)=sin(πt)를 비교해 볼까요? 두 번째 함수는 계속 변하지만 길이2인 구간은 정확히 한 주기를 담아 적분이0입니다. 서로 다른 두 함수가 모두 M(x)=0이라는 같은 기록을 남겨요.
여기서2가 가장 작은 양의 주기라는 결론은 없어요. f(t)=sin(2πt)도 조건을 만족하고1만큼 옮겨도 같아요. 상수함수까지 포함하는 조건을 최소주기 분류로 바꾸면 새로운 가정을 넣게 돼요.
Lin McMullin은 구간 평균을 함수로 보고 미분하며 원래 함수와 비교해요. 그 관점을 가져와 시작점을 고정한 평균 대신, 길이가 고정되고 양끝이 같이 움직이는 질문을 새로 만들었어요. 교사는 적분의 위끝만 보고 M′=f(x+1)/2라고 쓴 답에 아래끝의 움직임도 적게 해요. 평균 기록이 변하지 않았다는 사실만으로 그 안의 순간값이 변하지 않았다고 해석하지 않는지도 함께 확인해요.
출처·착안: Extreme Average. 문항·조건·증명은 자체 교육용으로 새로 작성했다.