55의 각 자리 숫자를 세제곱해 더하면 250입니다. 다시 계산하면 133, 그다음은 55입니다. 같은 규칙을 반복해도 한 값에 멈추는 대신 세 값을 계속 돌 수 있어요. 그렇다면 출발 숫자가 아무리 커도 언젠가 이전 값은 다시 나올까요?
자체 문항에서 D(n)은 비음 정수 n의 십진법 각 자리 숫자의 세제곱 합이고 D(0)=0입니다. a₀=n, a₍ᵣ₊₁₎=D(aᵣ)로 계산해요. 몇 가지 작은 예를 나열하는 대신 모든 큰 출발이 갇히는 범위를 먼저 찾아볼까요?
k자리 양수는 각 자리가 최대 9이므로 D(n)≤729k입니다. k≥5에서는 다음 부등식이 성립해요.
k=5일 때 3645<10000입니다. k에서 참이라면 k+1<10k이므로 729(k+1)<10·729k<10^k가 되어 다음 자리수에서도 참이에요. 따라서 값이 10000 이상인 동안은 양의 정수 값이 엄격히 줄어들어요. 양의 정수가 끝없이 감소할 수는 없으므로 결국 10000보다 작아져요.
0부터 9999까지에서는 최대 네 자리이므로 다음 값은 2916 이하예요. 0도 0으로 남아요. 한 번 이 구간에 들어오면 밖으로 나가지 않아요.
가능한 정수는 10000개예요. 구간 안에서 연속한 항 10001개를 기록하면 같은 값이 두 번 나와요. 다음 값은 현재 값만으로 결정되므로 그 뒤 계산도 같은 순서로 반복해요. 이것은 결국 반복한다는 증명이지 한 값에 고정된다는 증명이 아니에요. 처음의 55·250·133이 그 차이를 보여 줘요.
교사는 큰 값의 감소, 작은 구간의 보존, 같은 값이 돌아온 뒤의 반복을 차례로 연결하게 해요. 이 논증은 모든 주기나 각 주기에 도달하는 출발의 비율을 분류하지 않아요.
출처·착안: Square Digit Chains — Problem92. 원문의 관점을 참고해 질문·조건·논증을 새로 구성했다.