길이가 같은 철사를 하나는 곧게, 하나는 직각으로 구부리면 바닥의 평행선을 만날 확률도 같을까요? 길이와 만나는 횟수의 평균을 연결하는 설명에서, 한 번이라도 만나는 확률까지 바로 끌어내지는 않아요.
자체 모형에서 수평선의 간격은 D입니다. 직선 철사 S의 길이는 2D이고, B는 길이 D인 두 팔이 직각으로 만나요. 기준점의 높이는 한 선간격에서 균등하고 회전각 θ는 [0,2π)에서 균등하며 둘은 독립이에요. 실제 낙하의 마찰이나 입체 움직임을 모형에 넣지 않았어요.
N은 교점 수예요. 구부린 철사가 같은 수평선과 다른 두 곳에서 만나도 두 교점으로 세어요. 끝점이 정확히 선에 놓이는 등 확률0인 겹침은 제외해요. 직선을 길이 D인 두 부분으로 나누면 각각의 평균 교점 수는 2/π입니다. B의 두 팔도 마찬가지예요.
두 부분의 방향·위치는 연결되어 있어요. 이 계산에 둘의 독립성이 필요한 것은 아니에요. 교점 수의 합에 대한 기댓값(확률을 반영한 평균)의 선형성을 썼어요.
한 번이라도 만나는 확률은 세로 투영의 폭 W로 구해요. 연속된 철사의 세로 좌표는 최솟값과 최댓값 사이를 모두 지나므로, 균등한 위치 이동에서 조건부 확률은 min(1,W/D)입니다. B의 세 꼭짓점 높이 차는 0,Dsinθ,Dcosθ입니다.
sinθ와 cosθ가 같은 부호인 두 사분면에서는 W/D가 두 절댓값의 큰 값이에요. 다른 부호인 두 사분면에서는 합이 되어 1 이상이므로 반드시 선과 만나요. 같은 부호의 한 사분면은 π/4에서 나누어 적분해요.
이는 약0.950입니다. 비교용 직선의 확률 2/3+(4−2√3)/π는 약0.837이므로 서로 달라요.
두 모양 모두 교점은 0·1·2개예요. 따라서 E(N)−P(N≥1)=P(N=2)입니다. 직각으로 구부리면 이 모형에서 두 교점이 생기는 확률은 줄고 한 번 이상 만나는 확률은 늘어도, 평균 교점 수는 같아요.
교사는 같은 평균을 만든 두 분포가 같은 사건 확률도 주는지 묻게 해요. 전체 길이 정보와 모양 정보가 각각 어느 지표에 쓰였는지 표시해요. N을 서로 다른 선의 개수로 바꾸거나 임의의 입체 철사까지 이 결론으로 설명하지 않아요.
출처·착안: Buffon’s Needle, Kenneth M. Levasseur course project. 원문의 관점에서 질문·조건·증명을 새로 구성했다.