반지름 r(θ)는 모든 실수 θ에서 양수이고 연속이에요. 각은 라디안이에요. 아래 조건과 r(0)=3만으로 r(π)=3√2가 강제되는지 판정하고, 조건을 만족하는 모든 r의 형태를 설명해 볼까요?
순수 지수식 r(θ)=3·2^(θ/(2π))는 조건에 맞아요. 하지만 맞는 식 하나를 찾은 것이 다른 식의 부재까지 증명하지는 않아요. 한 바퀴 동안 변동했다가 처음 값으로 돌아오는 요인을 곱해 볼까요?
한 바퀴마다 커지는 부분을 나누면 남는 자유가 드러나요.
h=2+cosθ는1이상이므로 반지름 양수를 유지해요. 한 바퀴 뒤에는 h가 그대로이고 앞의 인자만 두 배가 돼요. 그러나 반바퀴에서는 h가3에서1로 바뀌어 r(π)=√2입니다.
교사는 정수 회전의 성장 관측을 각도 전체의 유일한 함수식으로 확장한 줄을 찾게 해요. 로그 나선의 식이 이 조건을 만족하는 예라는 말과 그 식만 가능하다는 말은 달라요. 실제 조개껍데기의 성장자료를 측정한 결과가 아니에요.
착안 원문: Courbes, PDF pp.5–6: Spirales. 조건·문항·증명은 새로 작성했어요. 원문 그림이나 활동 지시의 번역이 아니에요.