f는 실수전체의연속함수이며 f(x+π)=−f(x)입니다. n≥1인정수에대해 a_n=(1/π)∫₀²π f(x)cos(nx)dx,b_n=(1/π)∫₀²π f(x)sin(nx)dx를정해요. 짝수n에서둘다0임을증명하고, 모든홀수n의계수가0이아니라는추론을검토하라.
먼저 뒤쪽반구간을 앞쪽으로 옮겨본다. x=u+π에서 f는 부호가 바뀌며cos(nu+nπ)와sin(nu+nπ)는 각각(−1)ⁿ이곱해진다. 따라서 두반구간의합에는1−(−1)ⁿ이곱해진다.
짝수이면상쇄되지만홀수이면앞반구간적분의값이그대로필요해요.
이 반례는0함수가 아니에요. 세배진동수항하나만 있어도 반주기부호조건을만족해요. 홀수계수중어느것이실제로남는지는각적분에서따로확인해야해요. 평균값도두반구간이상쇄되어0입니다.
교사는 “짝수성분은안된다”와“홀수성분은반드시있다”를구별하게해요. 필요조건에서제외하지않았다는사실을존재보장으로바꾸지않는다. 이글은명시한계수적분의결론이며모든연속함수의급수수렴을별도로증명하지않았어요.
착안 원문: Music: A Mathematical Offering, PDF pp.46–51: Fourier series. 조건·문항·증명은 새로 작성했어요. 원문 그림이나 활동 지시의 번역이 아니에요.