접기선 네 개의 각도가 맞아도, 종이는 납작하게 접힐까요?

종이의 한 점에서 나온 접기선 네 개 중 마지막 선만 돌려 볼까요? 각도 검사를 맞추면 산접기·골접기 지정도 자동으로 맞을까요? 두께0인 종이 모형이며 아래 범위에서는 네 선의 순서가 바뀌지 않아요.

인접 각은 차례로30°,60°,120°+δ,150°−δ입니다. 납작한 단일 꼭짓점 접기에는 교대하는 두 각의 합이 같아야 한다는 사실을 사용해요. 두 합150°+δ와210°−δ를 맞추면δ=30°입니다. 마지막 선을30°움직였지만 바뀐 각은 하나가 아니에요. 양옆 각이 반대 방향으로30°씩 변했어요.

이제 네 선 중 두 개를 산접기, 두 개를 골접기로 고정할게요. 산접기는 지정한 종이 면에서 능선, 골접기는 골이 되는 방향이에요. 평평하게 접힌 한 꼭짓점에서는 두 종류의 개수 차가±2여야 해요.

따라서 각도는 맞췄어도 이 지정은 불가능해요. 다른δ는 첫 검사에서,30°는 둘째 검사에서 걸려요. 산 세 개·골 한 개로 바꾸면 개수 검사를 통과하지만, 그것만으로 특정 지정과 여러 꼭짓점 전체의 접기를 승인하지 않아요.

교사는 각도 계산과 산골 개수 계산을 별도 줄에 받아요. ‘첫 조건을 맞췄다’는 답 뒤에 아직 남은 필요조건을 찾게 하는 질문이에요. 실제 두꺼운 종이의 오차나 새 접기선을 만든 실험은 이 모형에 포함하지 않았어요.

착안: Hull, The Combinatorics of Flat Folds, §2. 두 정리를 주어진 사실로 사용하고, 선 이동·고정 산골 지정 문항과 해설은 새로 작성했어요. 원문 도해나 문항 번역을 사용하지 않았어요.