고른 주사위를 보여 줄 때와 숨길 때, 평균 점수는 달라질까요?

평균 눈이 모두 같아도 대결에서 서로를 이기는 관계는 순환할 수 있어요. 그런 주사위를 골랐을 때, 상대에게 실제 선택을 보여 주는 것과 선택 확률만 알려 주는 것은 같은 게임일까요?

자체 공정한 육면체 세 타입을 정해요. 두 사람은 각각 같은 타입의 별도 사본도 사용할 수 있어요. 선택이 끝난 뒤 두 던짐은 독립이에요.

각 평균은5입니다. 그러나 서로 다른 세 값씩을 비교한9칸에서 B가 A를 이기는 칸은5개, C가 B를 이기는 칸은5개, A가 C를 이기는 칸도5개예요. 같은 타입 대결에는 동점도 있어요. 높은 눈1점, 낮은 눈0점, 동점은 각1/2점으로 정해요.

내 타입이 행, 상대 타입이 열일 때 내 기대점수 표는 다음과 같아요. 같은 타입은 높은 경우와 낮은 경우가 대칭이고 동점 점수를 반씩 나눠1/2입니다.

먼저 내가 실현한 타입을 상대에게 보여 줄게요. A면 상대는B,B면C,C면A를 고르면 내 기대점수는4/9입니다. 내가 어떤 확률로 섞어 선택해도 매번 실현 선택을 본 뒤 이 대응을 할 수 있어 최대 보장 기대점수는4/9입니다.

이번에는 p_A,p_B,p_C를 상대가 알지만, 실현 타입은 보지 못한 채 상대 타입을 정해요. 세 확률은0이상이고 합은1이며 상대 던짐과 독립이에요. 상대의 A,B,C에 대한 내 기대점수는

세 값의 합은3/2라 그중 최소는1/2 이하예요. 모두1/3로 고르면 세 값이 정확히1/2이므로 이 상한을 달성해요. 최적 확률도 유일해요. 최소가1/2이상이려면 p_B≥p_C,p_C≥p_A,p_A≥p_B가 동시에 필요해 전부 같아야 해요.

상대가 세 타입을 섞는 대응을 해도 세 g값의 가중평균을 만들 뿐 그중 최솟값보다 낮출 수 없어요. 따라서 비공개 방법의 보장 기대점수는1/2입니다. 동점이 있으므로 이를 그대로 엄격한 승리 확률1/2라고 부르지도 않아요.

Microsoft Research는 순환 주사위에서 상대의 실제 첫 선택을 본 뒤 대응하는 순서를 설명해요. 여기서는 세 타입·동점점수·비공개 규칙을 따로 정하고 최적 혼합과 유일성까지 계산했어요. 교사는 “확률을 공개했다”와 “이번 타입을 공개했다”를 다른 정보로 적게 해요. 기대점수의 보장은 한 번의 승리나 정해진 횟수에서의 승리 약속이 아니에요.

출처·착안: Microsoft Research, Non-transitive Dice. 질문·조건·표·증명은 원문의 관점에서 새로 구성했다.