가로·세로로 잰 전체 너비가 모두4이면 원이라고 판단할 수 있을까요? 자체 모형은 원점 중심의 타원을 다음 좌표로 줘요. a,c>0이고 b는 실수예요. 각 방향 너비는 그 방향으로 수직 투영한 선분의 전체 길이예요.
가로·세로·45도 방향의 너비를 w₀,w₉₀,w₄₅라 해 볼까요? 주어진 세 너비는 양수이고,모두 같은 길이 단위의 정확한 값이에요. 이 세 너비로 자취를 복원할 수 있는지 물어요.
P,Q가 동시에0이 아닐 때 P cos t+Q sin t의 최댓값은 √(P²+Q²)입니다. 이번 모형의 세 방향에서는 a,c>0이 이 조건을 보장해요. 제곱합에서 그 식의 제곱을 빼면 (P sin t−Q cos t)²≥0이고, (cos t,sin t)=(P,Q)/√(P²+Q²)에서 등호예요. 최솟값은 반대 부호예요.
가로·세로 너비만4인 경우 a=2,b²+c²=4입니다. b=0,c=2의 원과 b=1,c=√3의 기울어진 타원이 모두 가능해요. 너비를 축 교점의 좌표나 장축·단축의 길이로 바로 읽으면 안 돼요.
세 너비의 반을 제곱한 값을 A,B,C라 두고 R을 계산해요. 그러면 a²=A,b²+c²=B,ab=R입니다.
a>0,c>0이므로 a=√A,b=R/√A,c=√(B−R²/A)로 유일하게 정해져요. 실제 타원이 존재할 필요충분조건도 얻어요.
조건이 성립하면 위 a,b,c가 세 너비를 그대로 만들므로 충분해요. R²=AB에서는 c=0인 선분으로 납작해져 이번 타원 모형에서 제외돼요. R²>AB인 자료는 이 모형으로 만들 수 없어요.
cos t=x/a와 sin t=(y−bx/a)/c를 제곱해 더하면 자취 전체의 식이에요. 역으로 이 식의 점은 제곱합1인 cos t,sin t를 만들 수 있어 빠지는 점이 없어요.
w₀=w₉₀=4,w₄₅=2√6이면 A=B=4,R=2이므로 x²−xy+y²=3입니다. 원의45도 너비4와 구별돼요. 다만 중심 조건을 지우면 어떤 평행이동도 세 너비를 유지해요. 세 값이 위치까지 복원하는 것은 아니에요.
Heath와 Sakshuwong의 자료는 단위원을 선형변환했을 때 타원이 되는 기하를 설명해요. 이 글은 그 관점에서 측정 방향을 몇 개 더 주어야 하는지 새로 물어요. 교사는 같은 너비 두 개, 추가 방향의 너비, 중심의 위치를 서로 다른 정보로 구별하게 해요.
착안: Matrix Condition Number — University of Illinois. 좌표 모형·측정 조건·복원과 존재 증명은 새로 작성했어요.