당구공이 제자리로 돌아오면, 진행 방향도 처음과 같을까요?

가로6, 세로4인 직사각형 당구대의 중앙(3,2)에서 점입자를 오른쪽 속도3, 위쪽 속도4로 출발시킨다. 벽에서는 수직인 속도 성분의 부호만 바뀌며 크기는 유지해요. 모서리에 닿으면 그때 종료해요. 마찰·스핀·공의 크기를 제외한 자체 모형이에요.

2초 뒤 중앙에 돌아왔다면 운동도 처음 상태로 돌아온 것일까요? 위치와 진행 방향을 함께 비교해 봐요.

벽에서 꺾는 대신 당구대를 거울처럼 이어 펼치면, 점은 (3+3t,2+4t)인 직선을 따라가요. 펼친 좌표를 원래 대 안으로 접을 때마다 해당 방향이 반전된다.

2초는 위치만의 첫 복귀다. 이때 다음에는 왼쪽으로 움직이므로 같은 운동 상태가 아니에요.

어떤 중앙 출발에서 이런 복귀가 가능한지 분류해 볼까요? 가로 a>0, 세로 b>0, 오른쪽·위쪽 초기 속도를 u,v>0으로 두고 다음 비를 써요.

각 축에서 한 변 길이를 이동하는 속도를 비교한 값이에요. 각의 유리수 여부와 같은 조건이 아니에요.

ρ가 무리수이면 두 방향에서 동시에 중앙에 돌아올 수 없어요. 중앙의 펼친 복사본은 시작점에서 가로 ka, 세로 lb만큼 떨어져 있고, k,l은 양의 정수예요. 따라서 복귀하려면 ut=ka,vt=lb여서 ρ=l/k가 되어야 해요.

ρ=p/q가 서로소인 양의 정수 p,q의 비이면

이때까지 가로 q개, 세로 p개의 변 길이를 이동해요. 중앙 복귀에 필요한 qt/T₀,pt/T₀가 모두 정수이면, p,q가 서로소이므로 t/T₀도 정수예요. 따라서 모서리에서 먼저 종료하지 않는다면 첫 위치 복귀는 T₀입니다.

그 시각의 속도는 ((−1)^q u,(−1)^p v)입니다. 서로소인 p,q는 둘 다 짝수일 수 없어서 최소 한 성분의 부호가 바뀌어요. 위치와 속도를 함께 처음으로 되돌리는 시각은 2T₀입니다.

단, p,q가 둘 다 홀수라면 T₀까지 기다릴 수 없어요. T₀/2에 펼친 좌표는 a(q+1)/2,b(p+1)/2로 격자의 꼭짓점이며, 원래 대의 모서리에 닿아 종료해요. 이보다 이른 모서리는 없어요. 모서리에 닿을 때 이동 길이를 각각 반정수 개의 변 길이로 쓰면, 그 홀수 분자 둘은 서로소 p,q의 같은 양의 홀수 배수여야 해서 t/T₀≥1/2입니다.

p,q의 홀짝이 다르면 모서리에 닿는 시각 자체가 없어요. 동시에 모서리에 닿았다면 ρ는 홀수/홀수의 비여야 하고, 기약분수도 홀수/홀수가 되므로 모순이에요. 무리수인 경우에도 같은 이유로 모서리에 닿지 않아요.

따라서 중앙 출발의 결과는 세 가지예요. 무리수 비에서는 복귀가 없고, 홀수/홀수인 기약비에서는 T₀/2에 종료하며, 홀짝이 다른 기약비에서만 T₀에 위치 복귀·2T₀에 전체 상태 복귀가 생겨요. 처음 예시는 ρ=2라 세 번째 경우예요.

Max Planck의 원문은 점입자의 직선 운동과 거울 반사라는 규칙을 소개해요. 여기서는 직사각형의 중앙 출발 조건을 별도로 정해, 같은 위치·같은 상태·모서리 종료를 구별했어요. 교사는 복귀 시각 옆에 속도의 두 부호도 적게 하고, 유리수 비라는 답에 모서리 예외를 빠뜨리지 않았는지 확인해요.

착안: Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems, Introduction to dynamical systems using billiards. 직사각형 모형·수치·분류와 증명은 새로 작성했어요.